代数三角范畴的Iyama-Yoshino约化

作者姓名：丁聪

文章字数：2569

发表期数：天府数学2019年4期

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本文网址：tfsx20190401

　　摘要：文章證明了代数三角范畴关于函子有限的n-rigid子范畴的Iyama-Yoshino约化仍是代数三角范畴.作为应用，进一步证明了遗传代数的高维丛范畴关于不可分解rigid对象的Iyama-Yoshino约化仍是遗传代数的高维丛范畴.
　　关键词：三角范畴;Iyama-Yoshino约化;丛范畴;Frobenius范畴
　　1引言
　　为了刻画概型上的Grothendieck对偶理论，Grothendieck与Verdier引入了导出范畴和三角范畴的概念，至今，三角范畴已成为研究代数几何的强有力的工具之一[1]，Happel[2]发现有限维代数的导出范畴是研究结合代数的倾斜理论的一个好的框架，从而首次将三角范畴作为工具应用到有限维代数的表示理论的研究中.至此，研究有限维代数的导出等价成为倾斜理论的一个重要课题.Keller[3]在研究微分分次范畴的倾斜理论中首次提出了代数三角范畴的概念并证明了其上的倾斜定理，使得代数三角范畴成为了倾斜理论研究的最基本的假设.事实上，代数几何或者代数表示论中出现的三角范畴基本上都是代数的.
　　众所周知，三角范畴的Verdier商范畴有自然的三角范畴结构.利用微分分次范畴不难证明代数三角范畴的Verdier商仍是代数三角范畴，在高维倾斜理论的研究中，Iyama和Yoshirio[4]发展了一套新的从已知三角范畴构造新的三角范畴的方法，该方法如今被称为Iyama-Yoshino约化，特别地，他们证明了Hom-有限的三角范畴的某些特殊的子范畴的加法商范畴也自然的继承了原三角范畴的三角结构，在此之后，Iyama-Yoshino约化方法被迅速的应用于丛理论的研究之中.
　　代数三角范畴的Iyama-Yoshino约化是否为代数三角范畴是一个自然而基本的问题.Amiot和Opper-mann[5]证明了具有Serre函子的三角范畴关于函子有限的rigid子范畴的Iyama-Yoshino约化仍是代数三角范畴，这使得他们能对其应用Keller的倾斜定理，从而给出τ2-有限代数的导出范畴的Iyama-Yoshino约化的刻画.遗传代数的丛范畴是丛理论中出现的一类重要的代数三角范畴.付和耿[6]证明了代数2-Calabi-Yau范畴的关于例外对象的Iyama-Yoshino约化仍是代数三角范畴，在此基础上证明了丛范畴对Iyama-Yoshino约化封闭.本文的主要目的即是在更一般的条件下给出上述问题的肯定回答，该结果蕴含了文献[5]和[6]的情形作为特例.作为主要结果的一个初步应用，我们进一步证明了遗传代数的高维丛范畴关于例外对象的Iyama-Yoshino约化仍是某一个遗传代数的高维丛范畴.
　　在本文中，对于加法范畴A中的对象T，我们记addT表示由T的有限直和的直和项构成的A的满子范畴。
　　2预备知识
　　设k为域.本文所考虑的范畴都是Hom-有限的k-线性加法范畴，本节中，我们主要回顾正合范畴、Frobenius范畴的基本定义与性质，参见文献[7].
　　设A为加法范畴，B为A的满子范畴，设A∈A，A的一个右B逼近是指一个态射f：B→A，其中B∈B，使得对任意的B'∈B，映射HomA（B'，B）→HomA（B'，A）是满射.如果A中的每个对象都有右B逼近，那么称B是A的一个反变有限子范畴.对偶地，
　　参考文献
　　[1]章璞.三角范畴-J=i导出范畴[M].北京：科学出版社，2015.
　　[2]HappelD.TriangulatedcategoriesintheRepresentationThe-oryofFiniteDimensionalAlgebras[M].LondonMathemat-icalSocietyLectureNoteSeries119.CambridgeUniversityPress，Cambridge，1988.
　　[3]KellerB.DerivingDGcategories[J].Ann.Sci.EcoleNorm.Sup，1994，27：63.
　　[4]IyamaO，YoshinoYMutationintriangulatedcategoriesandrigidCohen-Macaulaymodules[J].In-vent.math.，2008.172：117.
　　[5]AmiotC，OppermannS.Clusterequivalenceandgradedde-rivedequivalence[J]，DocumentaMath.2014，19：1155.
　　[6]FuC，GengS.Onindecomposableτ-rigidmodulesforcluster-tiltedalgebrasoftametype[J].J.Alge-bra，2019，53l：249.
　　[7]KellerB.Chaincomplexesandstablecategories[J].ManuscriptaMath.，1990.67：379.
　　[8]KellerB.Ontriangulatedorbitcategories[J].Doc.Math.，2005.10：551.
　　[9]ZhuB.Equivalencesbetweenclustercategories[J].J.Alge-bra，2006.304：832.
　　[10]KellerB，ReitenI.AcyclicCalabi-Yaucategoriesareclustercategories[J].CompositioMathematica.2008.144：1332.