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高温作业专用服装的最优设计

发布时间:2021-08-27 人气:

作者姓名:张宗渝 田大雕 王

文章字数:2409

发表期数:天府数学2019年4期

本期封面:

天府数学2019年4期

本文网址:tfsx20190413

  摘要:本文基于传热学理论,通过构建数学模型研究了高温作业专用服装的设计问题。我们将服装简化由三层织物材料构成,记为工、Ⅱ、Ⅲ层,第Ⅲ层与皮肤之间还存在空隙,将此空隙记为Ⅳ层。首先,将热传递过程视为一根均匀同性杆的传热,考虑热传导和对流两种方式,再基于能量守恒和傅里叶定律,对前三层材料建立了一阶热传导偏微分方程的数学模型;对第Ⅳ层,建立了一阶耦合热传导对流方程的偏微分方程的数学模型,利用热传导方程的有限差分法求数值解。在环境温度为75℃、Ⅱ层厚度为6mm、Ⅳ层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情况下,通过估计参数和一些已知的数据,利用MATLAB仿真出每一层的温度变化分布图,求得假人皮肤外侧的温度;在环境温度为65℃、Ⅳ层的厚度为5.5mm,确保工作60分钟,皮肤外侧温度不超过47℃,且超过44℃的时间不超过5分钟情况下,基于反问题的基本理论,在热传导模型基础上,建立优化模型,再利用遗传算法,求出第Ⅱ层的厚度在区间[5,25]上达到要求。最后,在环境温度为80℃,确保工作30分钟,皮肤外侧温度不超过47℃,且超过44℃的时间不超过5分钟的前提下,利用相同模型求出第Ⅱ层的厚度在[11,12.8]和第Ⅳ层的厚度在[3.5,6]区间上达到要求,通过构造初始函数,得到了与真实数据吻合的结论。
  关键词:一阶热传导方程;一阶耦合热传导对流方程;有限差分方法;遗传算法
  1引言
  在高温环境下工作时,人们需要穿着专用服裝以避免灼伤。因此,本文以专用服装的设计为目的,构建数学模型,以较低成本研发出合格的服装,这对保护工作人员的生命安全有着十分重要的意义。
  2问题重述(略)
  3模型假设
  1)热传递垂直于皮肤方向进行,故可视为一维的;
  2)服装材料只考虑传热方式,第Ⅳ层为热传导和空气的对流两种方式;不考虑湿传递,即忽略水汽、汗液的影响;
  3)热传导热传递到织物的过程中是均匀的,且热防护材料没有发生溶解;
  4)专业服装材料内部无水分,各层材料之间没有空气层,而且是均匀各向同性的,即考虑成一根均匀同性杆的热传导。
  4模型的建立与求解
  4.1热传导模型
  在固定的环境温度、时间、已知Ⅱ、Ⅳ层的厚度等情况下,该过程类似一根均匀同性杆的热传导[1]。因此,可将其温度分布简化为图1所示。
  热量守恒定律可表示为
  温度变化吸收的热量一通过边界流入的热十热源放出的热量,根据傅里叶热传导定律有[2]
  其中热传导系数k假设是常量,热量公式为
  Q=cmu
  (2)
  取材料内任一点处垂直于皮肤方向的微元线段L,微元上t1,t2时刻各点温度分别表示为u(x,t1),u(x,t2),则L内温度变化的热量Q满足
  4.2热传导模型的求解
  首先由题设,可得出定解条件和初值条件分别为
  u(0,0)=ua
  u(x,0)=φ(x)
  (10)其中φ(x)是连续函数,但该函数目前很难估计。为解决问题,我们假设所建立的偏微分方程的解一定存在。
  定理(解的存在性)[3]若(φ(x)连续,则存在常数M>0和A>0使
  u(x,0)=φ(x)
  (11)成立,则方程(8)满足初值条件的解存在。
  由解的存在定理,我们取
  |φ(x)|≤MeAr2
  (12)
  以保证解存在,初步的计算后,得到(8)式解的结果,见图2,同时根据题目中的测量值,给出温度变化情况,见图3。
  由图可得,曲线的凸性是相反的。为改变凸性,利用曲线关于直线y=x对称及平移的原理[4],对(4)式求反函数及平移,得
  基于文献中的有限差分法[5],以及附件中的数据,适当选取模型中的参数(见表1)。
  4.3耦合热传导对流模型
  由于第Ⅲ层与皮肤之间存在气体,故第Ⅳ层在原本的热传导方程上,增加对流的情况,建立耦合热传导对流模型
  对于第Ⅳ层,由参考文献[6],当厚度不超过6.4mm时,对流形式的热传递影响是很小的,因此,忽略对流的影响,利用MATLAB求解得到了第Ⅳ层温度分布,如图6。
  4.5优化模型
  当环境温度为65℃,Ⅳ层厚度为5.5mm时,需确定第Ⅱ层最优厚度,确保工作60分钟,假人皮肤不超过47℃,且超过44℃的时间不超过5分钟。作为热传导的反问题,由于反问题具有非线性、不适定性等特点,使反问题的求解比正问题复杂得多[7]。在反问题中,将材料的边界条件或物性参数作为优化变量,把正问题得到的计算值作为目标函数求极值。因此,我们将反问题的目标函数设计为热传导模型(16),第Ⅱ层材料的厚度为极值点。于是,目标函数为
  minu(x,t)
  (17)
  约束条件为:
  1)当时间t为0≤t≤55时,温度应满足
  u(x,t)≤44
  (18)
  2)当时间f为0
  u(x,t)≤47
  (19)
  从而可建立优化模型
  minu(x,t)
  (20)
  根据(21)式,可确定极小值点,即第Ⅱ层的厚度。
  当环境温度为80℃,确定第Ⅱ层和第Ⅲ层的最优厚度,确保工作30分钟,假人皮肤外侧温度不超过47℃,超过44的时间不超过5分钟,增加了一个变量,可以用与(21)式相似的方法建立模型并求解。
  同理,在新的约束条件
  4.6优化模型求解

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