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一道椭圆离心率问题的解题研究

发布时间:2021-08-29 人气:

作者姓名:罗万萍

文章字数:1575

发表期数:天府数学2019年4期

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天府数学2019年4期

本文网址:tfsx20190452

  摘要:椭圆离心率问题是数学高考中的一个重要考点,本文借助波利亚的“怎样解题表”利用一道典型例题的五种不同解法,引导学生突破思维,学会解题,把机械的做题转变到深刻理解概念的内涵及外延,以及对解题进行归纳、总结、拓展、感悟的轨道上来,让教师和学生找到真正的“应试之道”。
  关键词:椭圆离心率怎样解题新高考
  椭圆的离心率的值或者取值范围是高考的高频考点,求离心率的本质就是探究a,c之间的数量关系。椭圆的离心率体现椭圆的扁平程度,而扁平程度与椭圆的范围有关,椭圆离心率问题是学习的一个重点和难点它涉及的知识面广,题目带有一定的综合性和灵活性。对学生思维能力要求较高。我们以一道经典例题的一题多解,尝试借助波利亚的“怎样解题表”来引导学生展开思考,帮助学生突破思维障礙。
  四、解题反思:
  方法一本质是将存在性问题转化为最值问题,考虑了点P在短轴端点的特殊情况找到范围的一个极限值。有同学会假设当点P与椭圆上、下顶点重合时计算出一个离心率值等于√3/2,然后估计√3/2可能是离心率e取到一个最值,但是却不知道为什么。
  我们可以继续深入研究,看看椭圆上任意一点P与焦点所成的角∠F1,PF2中,上顶点与焦点所成的角∠F1BF2会不会有什么特殊性。大家可以猜想当P为短轴与坐标轴交点时,∠F1PF2最大。
  证明:如图所示,过上顶点B,F1,F2作圆O',圆心O'与坐标原点O不一定重合,劣弧A1B和A2B上的点除B点在圆上其它都在圆外,根据同弦所对的圆周角大于圆外角,可得∠F1BF2>∠F1PF2。
  由此,我们可以得到:椭圆上任意一点与焦点的连线所构成的∠F1PF2中,当点P在短轴端点时∠F1PF2最大。
  方法二运用了椭圆的定义,余弦定理及基本不等式
  既然可以用余弦定理解三角形,我们也可以尝试方法三用正弦定理解三角形,并结合初中合比定理以及椭圆定义求解,同时运用了三角函数有界性。
  方法四PF1和PF2是椭圆上点到焦点的距离,所以联想到用椭圆焦半径公式来求解。
  方法五用到了焦点三角形面积公式S△PF1F2=b2.tana/2以及(S△PF1F2)max=bc
  这道题还有其他的一些解法,每个解法都有很多知识点的融合和扩展,教师应该利用核心题型,深入剖析、总结归纳解题的规律和方法,力求给学生以启发,引导学生注重纵横联系、发现共同的本质特征,实现知识的迁移,培养学生继续学习的潜力。
  从高考数学最新的命题特点来看,试题明显从过去单纯的强调简单的观察能力和特殊技巧,转变为深刻地把握数学问题的本质及通性通法。因此,对于广大教师和学生来讲,适应高考复习新常态,必须由原来的题海战术为指导原则转变为向效率要分数,把机械的做题转变到深刻理解概念的内涵及外延,以及对解题进行归纳、总结、拓展、感悟的轨道上来,让教师和学生找到真正的“应试之道”。
  参考文献
  [1]代瑞香,穆明星,陈露,波利亚解题理论在高考解题中的应用[J].兵团教育学院学报,2019,29(03):69-75.
  [2]刘定明,高中生解决圆锥曲线焦点三角形问题的常见策略及认知分析[D].广州大学,2019.
  [3]张丽,一题四大招妙解离心率[J].中学数学,2019(05):65-66.
  [4]杨运标,“怎样解题表”在解题教学中的运用[J].中国数学教育,2019(07):20-24.
  [5]钟迎军,理解概念明确目标合理转化轻松解题——以圆锥曲线离心率问题的求解为例[J].中学数学教学参考,2018(33):29-32.

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