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双曲线标准方程的推导及发现

发布时间:2021-08-29 人气:

作者姓名:左向阳

文章字数:1031

发表期数:天府数学2019年4期

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天府数学2019年4期

本文网址:tfsx20190454

  摘要:本文介绍了五种推导双曲线标准方程的方法(移项平方法、直接平方法、分子有理化法、“余弦定理”法、“平方差”法),这些方法的由来是受教材思考题和例题的启发,也为双曲线方程的灵活运用打下了坚实基础。
  关键词:双曲线方程推导启示发现
  近期看文[1],[2],是关于椭圆标准方程的推导及其发现、领悟,于是想到,笔者在上双曲线的标准方程时也可采用其它的方法来化简。在推导双曲线的标准方程时,大多数教师都会采用教材中的推导过程,有时教师提一下直接平方会更复杂一点,并顺便否定其他的推导过程。事实果真如此吗?本文笔者采用五种方法来推导双曲线的标准方程,并试着沿教材编写者的意图来分析这样处理教材的原因。
  二、启示与发现
  仅从运算角度看,教材采用方法1的优势并不是很明显,那么教材这样处理的意义何在?
  通过笔者的教学,有以下发现。
  1、(教材选修2-1)第55页探究:点A、B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程。
  分析:设点M的坐标(x,y),那么直线AM,BM的斜率就可以表示成x,y的式子,由于它们斜率之积是-4/9,因此可以建立x,y之间的关系式,得出M的轨迹方程。
  3、方法4在数学史上采用得并不多,现在大多数人根本不熟悉,尽管在推导过程中还得到了焦半径公式:⑧式。方法5巧妙的利用了平方,从而避免了出现根式,再利用作差,就很简单得出了双曲线的标准方程。对学生来说也会觉得自然,在课堂上可以介绍给学生。
  不同结构的数学式子具有不同的数学内涵,代表着不同的几何意义,但它们表示同一图形——双曲线。采用方法1不仅让学生得到了双曲线的标准方程,还理解了双曲线的不同描述,教学生完整的了解双曲线标准方程的含义,对双曲线各种表述留下较为深刻的印象,这样也对双曲线的领悟更深刻。反过来,这也使得单调、繁琐的运算过程变得生动而有活力,为双曲线方程的灵活运用打下了坚实基础。更重要的是让学生明白,变的是形式,不變的是本质这一科学道理。
  参考文献
  [1]沈金兴,数学文化视角下的椭圆标准方程推导[J],数学通讯,2015.4下半月(教师):1-3
  [2]祝要辉,比较发现
  领悟[J],中学数学参考,2014年第12期(上旬):2021

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