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一道数学竞赛题的研究

发布时间:2021-08-29 人气:

作者姓名:易志伟

文章字数:605

发表期数:天府数学2019年4期

本期封面:

天府数学2019年4期

本文网址:tfsx20190461

  上面这道题是笔者在准备高中数学联赛讲义时遇到的,其中[1]在书中提供了两种解法,解法一是标答,解答略有冗长,而看到解法二时,笔者眼前一亮,现将解法二分享给读者,这是一个简洁且优美的解答。
  总的来说,上面的这种解法有一定的技巧性,最主要的是对|Sk-Tk|的估计(因为对St.Tt,下标l的选取并不关键),而对于这种估计的方法,我们有一个熟悉的名字“截断技术”,而截断技术的关键就同它的名字一样:“截断量”,有时截断量的选取是题目中已提示我们的,但也有一些截断量的选取是构造性的(如同题1),需要我们自己去创造。
  下面这道题是笔者从一个三元不等式(韓京俊《初等不等式的证明方法》一书中某题的一个引理)中提出来的”元形式,若使用截断技术会使此题十分容易,同时显得截断量是明了的。
  回顾一下题2.这道题我们之所以说,截断量是显然的,是因为题目中的形式提示我们使用Bernoulli,而当使用Bernoulli时遇到的困难,自然提示我们从1截断然后就得证,
  下面我们来看一道同样是使用与题2类似的截断技术,但难度要大一些,截断量也不易见。
  在上面这道题中,截断技术并未起到最主要的作用,(但使用的过程扔是本质上的,关键的!)
  这同时也启发我们,有时在处理一些综合的问题时,使用截断技术,能够帮助我们处理掉一些细小的步骤,逐步分析。

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